终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额，通常记作F。现值是指未来某一时点上的资金折算到现在所对应的金额，通常记作P。
为方便计算，本章假定有关字母的含义如下：I为利息；F为终值；P为现值；i为利率（折现率）；n为计算利息的期数。
（一）单利的现值和终值
1、单利现值
P=F/(1+n×i)
式中，1/(1+n×i)为单利现值系数。
【例2-1】某人为了5年后能从银行取出500元，在年利率2%的情况下，目前应存入银行的金额是多少？
解答：P=F/(1+n×i)=500/(1+5×2%)≈454.55(元)
2、单利终值
F=P(1+n×i)
式中，(1+n×i)为单利终值系数。
【例2-2】某人将100元存入银行，年利率2%，求5年后的终值。
解答：F=P(1+n×i)=100×(1+5×2%)=110(元)
结论：（1）单利的终值和单利的现值互为逆运算；
（2）单利终值系数(1+n×i)和单利现值系数1/(1+n×i)互为倒数。
（二）复利的现值和终值
复利计算方法是指每经过一个计息期，要将该期所派生的利息加入本金再计算利息，逐期滚动计算，俗称“利滚利”。
1、复利现值
P=F/(1+i)n
【例2-3】某人为了5年后能从银行取出500元，在复利年利率2%的情况下，目前应存入银行的金额是多少？
解答：P=F/(1+n×i)n=100/(1+2%)5=90.57
2、复利终值
F=P(1+i)2
式中，(1+i)n为复利终值系数，记作（F/P,i,n）;n为计息期。
【例2-4】某人将100元存入银行，复利年利率2%，求5年后的终值。
解答：F=P(1+i)n=100×(1+2%)5=110.4(元)
结论：（1）复利终值和复利现值互为逆运算；
（2）复利终值系数(1+i)n和复利现值系数1/(1+i)n互为倒数。
二、年金终值和年金现值的计算
年金按其每次收付发生的时点不同，可分为普通年、即付年金、递延年金、永续年金等几种。每期期末收款付的年金，称为普通年金或后付年金；每期期初收付的年金，称为即付年金或预付年金或先付年金；距今若干期以后发生的每期期末收付的年金，称为递延年金；无限期连续收付的年金，称为永续年金。
1、普通年金终值的计算（已知年金A,求终值F）
根据复利现值的方法计算年金终值的公式为：
F=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+……+A(1+i)n-1
将两边同时乘以（1+i）得：
F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)3+A(1+i)4……+A(1+i)n
两式相减得：
F×i=A(1+i)n-A=A×[(1+i)n-1]
称为“年金终值系数”，记作(F/A,I,n)，可直接查阅“年金终值系数表”。
【例2-5】小王是位热心于公益事业的人，自2002年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年的捐款在2010年底相当于多少钱？
解答：F=A[(1+i)-1]/i
=1000×[(1+2%)9-1]/2%
=9754.6(元)
或：F=1000×(F/A,2%,9)=1000×9.7546=9754.6（元）
2、偿债基金的计算（已知终值F,求年金A）
【例2-6】某人拟在5年后还清10000元债务，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10%，则每年需存入多少元？
解答：根据公式
结论：（1）偿债基金和普通年金终值互为逆运算；
3、普通年金现值的计算（已知年金A,求普通年金现值P）
根据复利现值的方法计算年金现值的公式为：
P=A(1+i)-1+A(1+i)-2+A(1+i)-3+……+A(1+i)-n
P(1+i)=A(1+i)+A(1+i)-1+A(1+i)-2+……+A(1+i)-(n-1)
两者相减得：
称为“年金现值系数”，记作(P/A,i,n)，可直接查阅“年金现值系数表”。
4、年资本回收额的计算（已知普通年金现值P,求年金A）
年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。
【例2-8】某企业借得1000万的贷款，在10年以内年利率12%等额偿还，则每年应付的金额是多少？
解答：
结论：（1）年资本回收额与普通年金现值互为逆运算；
（2）资金回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
5、即付年金终值的计算
即付年金终值是指把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值，再来求和。即付年金终值的计算公司为：
或F=A[(F/A,i,n+1)-1]
【例2-9】为给孩子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年年末能一次取出本利和多少钱？
解答：F=A[(F/A,in+1)-1]
=3000×[(F/A,5%,7)-1]
=3000×(8.1420-1)
=21426(元)
6、即付年金现值的计算
即付年金现值就是吧即付年金每个等额的A都换算成第一期期初的数值即第0期期末的数值，再求和。即付年金现值的计算就是已知每期期初等额收付的年金A，求现值P。
【例2-10】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15000元，分10年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少？
解答：P=A×[(P/A,i,n-1)+1]
=15000×[(P/A,6%,9)+1]
=15000×(6.8017+1)
=117025.5(元)
7、递延年金现值的计算
递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。递延年金的支付形式如图2-1所示。从图中可以看出：前三期没有发生支付，一般用m表示递延期数，本例的m=3；第一次支付在第四期期末，连续支付4次，即n=4。
m=3i=10%n=4A=100
递延年金终值的计算方法和普通年金终值类似，只是要注意期数。
F=A×(F/A,i,n)
=100×(F/A,10%,4)
=100×4.641
=464.1(元)
递延年金现值的计算方法有两种：
第一种方法：
先将递延年金视为n期普通年金，求出在m期普通年金现值，然后再折算到第一期期初。
P0=A×(P/A,i,n)×(P/F,i,m)
第二种方法：
先计算m+n期年金现值，再减去m期年金现值：
P0=A×[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]
【例2-11】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息5000元。
要求：用两种方法计算这笔款项的现值。
方法一：
P=A×(P/A,i,n)×(P/F,i,m)
=A×(P/A,10%,10)×(P/F,10%,10)
=5000×6.145×0.386
=11860(元)
方法二：
P=A×[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]
=A×[(P/A,10%,20)-(P/A,10%,10)]
=5000×(8.514-6.145)
=11845(元)
两种计算方法相差15元，是因小数点的尾数造成的。
8、永续年金现值的计算
无限期定额支付的年金，称为永续年金。
永续年金的现值可以看成是一个n无穷大后付年金的现值，则永续年金现值计算如下：
P(n→∞)=A×[1-(1+i)-n]/i=A/i
当n趋向无穷大时，因此，P(n→∞)=A×[1-(1+i)-n]/i趋向A/i。
【例2-12】拟建立一项永久性奖学金，每年计划颁发10000元奖金。若利率为10%，现在应存入多少钱？
解答：P=A/i=10000/10%=100000（元）
第三节利率的计算
利率又称利息率。表示一定时期内利息量与本金的比率，通常用百分比表示，按年计算则称为年利率。其计算公式是：
一、复利计息方式下的利率计算
复利计息方式下，利率与现值(或者终值)系数之间存在一定的数量关系。已知现值(或者终值)系数，则可以通过内插法计算对应的利率。
式中，所求利率为i，i对应的现值(或者终值)系数为B，B1、B2为现值(或者终值)系数表中B相邻的系数，i1、i2为B1、B2对应的利率。
（1）若已知复利现值(或者终值)资格认证系数B以及期数n，可以查“复利现值(或者终值)系数表”，找出与已知复利现值(或者终值)系数最接近的两个系数及其对应的利率，按内插法公式计算利率。
【例2-13】郑先生下岗获得50000元现金补助，他决定趁现在还有劳动能力，先找工作糊口，将款项存起来。郑先生预计，如果20年后这笔款项连本带利达到250000元，那就可以解决自己的养老问题。问银行存款的年利率为多少，郑先生的预计才能变成现实？
50000×（F/P,i,20)=250000
(F/P,i,20)=5,即（1+i)20=5
可采用逐次测试法（也称为试误法）计算：
当i=8%时，（1+8%）20=4.661
当i=9%时，（1+9%）20=5.604
因此，i在8%和9%之间
运用内插法有：
说明：如果银行存款的年利率为8.359%，则郑先生的预计可以变成现实。
（2）若已知年金现值(或者终值系数)以及期数n，可以查“年金现值(或者终值)系数表”，找出与已知年金现值(或者终值)系数最接近的两个系数及其对应的利率，按内插法公式计算利率。
【例2-14】某公司第一年年初节款20000元，每年年末还本付息均为4000元，连续9年付清。问借款利率为多少？
解答：根据题意，已知P=20000,A=4000,n=9,
则：(p/A,i,9)=P/A=20000/4000=5
查表可得：当i=12%时，（P/A,12%,9)=5.3282
（3）永续年金的利率可以通过公式i=A/P计算
【例2-15】归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。吴先生存入1000000元，奖励每年高考的文理科状元各10000元，奖学金每年发放一次。问银行存款利率为多少时才可以设定永久性奖励基金？
解答：i=20000/1000000=2%
也就是说，利率不低于2%才能保证奖学金制度的正常运行。
二、名义利率与实际利率
如果以“年”作为基本计息期，每年计算一次复利，这种情况下的年利率是名义利率。如果按照短于一年的计息期计算复利，并将全年利息额除以年初的本金，此时得到的利率是实际利率。名义利率与实际利率的换算关系如下：
i=(1+r/m)m-1
式中，i为实际利率，r为名义利率，m为每年复利计息次数
【例2-16】年利率为12%，按季复利计息，试求实际利率。
解答：i=(1+r/m)m-1=(1+12%/4)4-1=1.1255-1=12.55%
【例2-17】某公司于年初存入10万元，在年利率10%、每半年复利计息一次的情况下，到第10年年末，该企业能得到的本利和是多少？
解答：解法一：
i=(1+10%2)2-1=10.25%
F=10(1+10.25%)10=26.53(万元）
解法二：
F=P(1+r/m)=10(1+10%2)20=26.53（万元）
第四节风险与收益
一、资产的收益与收益率
﹝一﹞资产收益的含义与计算
资产的收益是指资产的价值在一定时期的增值。一般情况下又两种表述资产收益的方式：
第二种方式是以百分比表示的，称为资产的收益率或报酬率，是资产增值量与期初资产价值（价格）的比值，该收益率也包括两部分：一是利息（股息）的收益率，二是资本利得的收益率。
另外，由于收益率是相对于特定期限的，它的大小要受计算期限的影响，但是计算期限常常不一定是一年，为了便于比较和分析，对于计算期限短于或长于一年的资产，在计算收益率时一般要将不同期限的收益率转化成年收益率。
因此，如果不做特殊说明的话，资产的收益指的是资产的年收益率，又称资产的报酬率。
单期资产的收益率=资产的价值(价格)/期初资产价值（价格）
=资产的收益额/期初资产价值（价格）=（利息收益+资本利得）/期初资产价值（价格）
=利息（股息）收益/期初资产价值（价格）+资本利得/期初资产价值（价格）
=利息（股息）收益率+资本利得收益率
【例2-18】某股票一年前的价格为10元，一年中的税后股息为0.25元，现在的市价为12元。那么，在不考虑交易费用的情况下，一年内该股票的收益率是多少？
解答：一年中资产的收益为：0.25+（12-10）=2.25（元）
其中，股息收益率为0.25元，资本利得为2元。
股票的收益率=（0.25+12-10）/10=2.5%+20%=22.5%
其中，股利收益率为2.5%，资本利得收益率为20%。
（二）资产收益率的类型
在实际的财务工作中，由于工作角度和出发点不同，收益率可以有一下一些类型：
1.实际收益率
实际收益率表示已经实现或者确定可以实现的资产收益率，表述为已实现或确定可以的利息（股息）率与资本利得收益率之和。
2.名义收益率
名义收益率仅指在资产合约上标明的收益率。例如借款协议上的借款利率。
3.预期收益率
预期收益率也称为期望收益率，是指在不确定的条件下，预测的某项资产未来可能实现的收益率。对期望收益率的直接估算，首先描述影响收益率的各种可能情况，然后预测各种可能发生的概率，以及在各种可能情况下收益率的大小，那么，预期收益率就是各种情况下收益率的加权平均，权数是各种可能情况发生的概率。计算公式为：
式中，E(R)为预期收益率；Pi表示情况i出现的概率；Ri表示情况i出现的收益率。
【例2-19】半年前以5000元购买某股票，一直持有至今尚未卖出，持有期曾获红利50元。预计未来半年内不会再发放红利，且未来半年后市值达到5900元的可能性为50%，市价达到6000元的可能性也是50%。那么预期收益率是多少？
解答：预期收益率=[50%×（5900-5000）+50%×（6000-5000）]/5000=19%
4.必要收益率
必要收益率也称最低必要报酬率或最低要求的收益率,表示投资者对某资产合理要求的最低收益率。
5.无风险收益率
6、风险收益率
风险收益率是指组成持有者因承担该资产的风险而要求的超过无风险利率的额外收益。它等于必要收益率与五风险收益率之差。风险收益率衡量了投资者将资金从无风险之差转移到风险之差而要求得到的“额外补偿”，它的大小取决于以下两个因素：一是风险的大小‘二是投资者对风险的偏好。
二、资产的风险
风险是现代企业财务管理环境的一个重要特征，在企业财务管理的每一个环节都不可避免地要面对风险。从财务管理的角度看，风险就是企业在各项财务活动过程中，由于各种难以预料或无法控制的因素作用，使企业的实际收益与预计收益发生背离，从而蒙受经济损失的可能性。
（一）资产的风险及其衡量
资产的风险是资产收益率的不确定性，其大小可用资产收益率的离散程度来衡量。离散程度是指资产收益率的各种可能结果与预期收益率的偏差。
衡量风险的指标主要有收益率的方差、标准差和标准离差率等。
收益率方差是用来表示某资产收益率的各种可能结果与其期望值之间的离散程度的一个指标，其计算公式为：
收益率标准差是反映了某资产收益率的各种可能结果对其期望值的偏离程度的一个指标。它等于方差的开方。其计算公式为：
标准差和方差都是以绝对数衡量某资产的全部风险，在预期收益率（即收益率的期望值）相同的情况下，标准差或方差越大，风险越大；相反，在预期收益率相同的情况下标准差或方差越小，风险也越小。由于标准差或方差指标衡量的是风险的绝对大小，因而不适用于比较具有不同的预期收益率的资产的风险。
2.收益率的标准离差率（V）
标准离差率是收益率的标准差与期望值之比，也可称为变异系数。其计算公式为：
标准离差率以相对数衡量资产的全部风险的大小，它表示每单位预期收益所包含的风险，即每一元预期收益所承担的风险的大小。一般情况下，标准离差率越大，资产额相对风险越大；相反，标准离差率越小，相对风险越小。标准离差率可以用来比较具有不同预期收益率的资产的风险。
【例2-20】某企业投资一项目，有两个方案甲和乙，投资额均为40000元，其收益率概率如表2-1所示。
试计算各项目的预期收益率、标准差和标准离差率，并比较各项目风险的大小
首先计算各项目的预期收益率
可见，甲、乙两方案预期收益率相同。但相比之下，甲方案在不同经济环境下的预期收益（率）相对集中，而乙方案却比较分散。这说明甲方案的风险较乙方案小。
其次计算各项目的标准离差
甲方案的标准离差为：
乙方案的标准离差为：
可见，甲方案的标准离差小于乙方案的标准离差，说明甲方案的风险小于乙方案的风险。
最后，计算各项目的标准离差率：
可见，甲方案的标准离差率小于乙方案的标准离差率，说明甲方案的风险小于乙方案的风险。
4.风险收益率
标准离差率的大小代表了投资者所冒风险的大小，反映了投资者所冒风险的程度，但还不是风险收益率。所以还要把标准离差率转换为风险收益率。由于收益与风险之间存在着权衡关系，即冒一定的风险与其收益成正比，故风险收益率可以通过标准离差率和风险价值系数来确定。其公式为：
风险收益率=风险价值系数×标准离差率
其中：b表示风险价值系数
(1)往同类项目的有关规定确定。根据以往同类项目的投资收益率、无风险收益率和标准离差率等历史资料，可求得风险价值系数。假设企业进行投资，其同类项目的投资收益率为12%，无风险收益率为6%，标准离差率为50%，则根据公式
(2)家有关部门组织专家确定。
(3)业领导或有关专家确定。如果现在进行投资缺乏同类项目的历史资料，不能采用上述方法，则可根据主观的经验加以确定。敢于冒风险的企业，可以把风险价值系数定低些，反之，可以定高些。
依前述甲乙两投资方案的实例可知：
综上所述，投资的风险决策总体上应坚持的原则是选择投资收益率高，风险程度小的资产。但实际情况是复杂的。所以在风险决策时应视具体情况确定。一是如果两个资产的预期收益率相同，应选择标准离差率较低的那个资产；二是如果两个资产的标准离差率相同，应选择预期收益率较高的那个资产；三是如果一个资产的预期收益率高于另一个资产，且其标准离差率低于另一方案，则应选前这者；四是如果一个资产的预期收益率和标准离差率都高于另一资产，则不能一概而论，它取决于投资者的态度。
【本章小结】
利率是表示一定时期内利息量与本金的比率。掌握复利计息方式下的利率计算以及名义利率与实际利率的计算。
资产的风险是资产收益率的不确定性，掌握衡量风险的指标：收益率的方差、标准差和标准离差率等的计量方法。