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2、(Z)v趸缴纯保费=E(Z)(x)tbt第一节第一节死亡立即给付的寿险趸缴纯保费死亡立即给付的寿险趸缴纯保费v一、n年定期寿险趸缴纯保费v设：1tbnt0TTvbZTvTv保险金给付现值保险金给付现值1、保险金给付的精算现值（期望现值）、保险金给付的精算现值（期望现值）：v。ndttZf0)()(ZEdttfvxnt)(0dtpvtxxtnt0dtpetxxtnt02、寿险趸缴纯保费、寿险趸缴纯保费v。1:nxA)(ZEdttfvxnt)(0dtpetxxtnt03、Z的方差的方差v。22)()()(ZEZEZVar21:1:2)(nxnxAA其中：)(21:2ZEAnxdtt
3、fZxn)(02dtpvtxxtnt02dtpetxxtnt02例：已知例：已知v求：1）2）v解：10001001)(xxxs1.0i110:30A)(ZVar)(tfxxxstxs1001)()(30x701)(tfxdttfeAxt)(100110:30100701te100701dtet063803.0当当：1）2）v。dttfeAxt)(1002110302：dtet1002701063803.0)21(7011002te2110:30110:302)()(AAZVar055321.0二、终身寿险趸缴纯保费v设：v保险金的精算现值：v1、保费v2、Z的方差：v其中：1tbdttf
4、vZExt)()(0)(ZE0)(dttfvxtdtpetxxtt02222)()()()(xxAAzEzEzVardtpeAtxxttx022xA例：设例：设(x)投保终身寿险，保险金额为投保终身寿险，保险金额为1元，利息力为元，利息力为签单时其签单时其T的概率密度的概率密度600600601)(tttfxxA)(zVarxAdttfext)(600dtet60160060160e求：求：1）2）解：解：1）。dteAtx600226011201120e22)()(xxAAzVar1201120e260)601(e2）三、延期寿险的趸缴纯保费v1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费v趸缴纯保费m
5、tmtbt10mTvmTZT0保险金给付的精算现值为：dttfvZExmt)()(dtpvtxxtmtxmAdtpvtxxtmtdttfvxmt)(上式还可以表示为：v。v。如果设,则：dtpvdtpvAtxxmtttxxttxm001:mxxAAsmtdspvAsmxxsmsmxm0dspvpvsmxmxssxmm0mxxmmApv.称为精算折现因子。v2、延期m年的n年定期寿险的趸缴纯保费xmmxmpvE1:nxmAnmmtxxttdtpvnmxxmmApv:11:1:mxmnxAA例例(x)投保延期投保延期10年的终身寿险，保险金额为年的终身寿险，保险金额为1元，死元，死亡立即给付
6、，已知，亡立即给付，已知，v求：1）2）v解：1）v2）)(zVar06.00)(04.0xetstxxA10txets04.004.0)()(tfxdttfeAxtx)(1010104.0104.004.0edteettdttfeAxtx)(1022106.125.0e210102)()(xxAAzVar26.116.025.0ee四、四、n年期两全保险的趸缴纯保费年期两全保险的趸缴纯保费v两全保险又称生死合险。是由死亡保险和生存保险两种保险综合而成，被保险人在n年期内死亡或活过n年期，保险人都要给付保险金，这是一种即有保障功能，又有储蓄功能的保险。1、n年期生存保险v。v生存保险的趸缴纯
7、保费nTvnTZn0xnnpvzE)(1:nxAxnnpv保险金给付的期望现值为：2、n年期两全保险v保险金给付现值v保险金给付精算现值v两全保险的纯保费nTvnTvZnT)()(21ZEZExnnnxpvA1:)(ZE1:nxA1:nxAnxA:Z的方差2:2)()(nxnxAAZVar3、延期m年的两全保险v。nxmA:xnmnmnmmtxxttpvdtpvnmxxmmApv:1:mxmnxAA第二节第二节死亡年末付的寿险趸缴纯保费死亡年末付的寿险趸缴纯保费v以被保险人死亡为给付条件，保险金在死亡年末给付的一种保险。v一、n年期定期寿险趸缴纯保费v设：v保险金的精算现值：11k
8、b(K=0、1、2n-1)11kkvbZ1Kv)()(1kvEZE2、纯保费v。)(1:ZEAnx101nkxkkqvkxxknkkqpv101101nkxkxkldv。v。Z的方差：v其中：22)()()(ZEZEZVar21:1:2)(nxnxAA)(21:2ZEAnxxknkkqe10)1(24、自然保费v当n=1时，有：v随着被保险人的年龄增加，死亡率也在增大，保费逐年增大，如果采用自然保费法，有可能导致年老的人缴纳不起保费而失去保障。v当利率上升时，保费下降，此时有利于投保人；而当利率下降时，保费增加，此时不利于投保人。xxqvA011:xvqxqi11例（30）投保5年期定期寿险
9、，保险金额为1000元，在死亡年末给付，试利用生命表计算趸缴纯保费，i=0.06，求趸缴纯保费。v解：40115:3010001000kxkkqvAxkxkkldv4011000)(100045342312xxxxxxdvdvdvdvvdl。)1(1)1(1)1(1)1(11110003453343233123030dididididil06.195006.188706.183406.178906.17559766111000543260969.3二、终身寿险的趸缴纯保费v1、纯保费vZ的方差v其中：xAxkkkqv01)1(x22)()()(ZEZEZVar22)(xxAAxkkkxqeA
10、0)1(22三、n年期两全保险的趸缴纯保费v。四、延期寿险趸缴纯保费v1）延期m年的n年定期寿险趸缴纯保费1:nxAnxA:xnnxknkkpvqv101xknmmkknxmqvA111:1:1:mxnmxAAnmxxmmApv:11:nxA2）、延期m年的终身寿险趸缴纯保费v3）延期m年的n年定期寿险趸缴纯保费xkmkkxmqvA11:mxxAAmxxmmApv.xnmnmxknmmkknxmpvqvA11:1:mxnmxAAnmxxmmApv:例（30）投保5年期两全保险，若被保险人在5年内死亡，则在死亡年末给付保险金，保险金额为1000元，若被保险人活过5年，则给付生存保险金，保险金
11、额为1000元，i=0.06，试计算趸缴纯保费。v解：)(1000100015:301530530AAA：)(100055401xxkkkpvqv)(100030355401llvqvxkkk元3855.747第三节与A的关系v（以终身寿险为例）在UDD假设下。v令：A0)(dttfvAxtxdtpvtxxtkkkt0110,ssktdspvAskxkxskskx010。v在UDD假设下：dspvpvskxkxssxkkk10101kxkxskxkxsqsfp)(dsqvpvAkxsxkkkx10101dsvqpvskxxkkk10101.xkkkqvi01xAi同理：1:1:nxnxAiA
12、1:1:nxnxnxAAiA第四节递增型与递减型寿险趸缴纯保费v一、递增型寿险v（一）立即给付的递增型寿险趸缴纯保费v1、保额逐年增加v保险金给付条件是：若被保险人在第一年内死亡，给付保险金为1，若在第二年内死亡，给付保险金为2，若在第三年内死亡，给付保险金为3，依此类推，保险金在被保险人死亡立即给付。则：1tbt0t保险金给付现值：v。v1）终身寿险纯保费v2）定期寿险纯保费1:)(nxAITTvbZTvt1xAI)(dttfvtxt)(10)(ZE)(ZEdttfvtxnt)(102、保险金连续增加v1）终身寿险v2）定期寿险tbtxAI)（dttftvxt)(01:)nxAI
13、（dtpvttxxttn0（二）、死亡年末付型v保险金的给付条件是：若被保险人在第一年内死亡，给付保金为1；若在第二年内死亡，给付保险金为2，若在第三年内死亡，给付保险金为3，依此类推，且保险金在死亡年末给付，则有：v(K=0,1,2，)11kbk保险金的给付现值：v。v1、终身寿险v2、定期寿险11KKvbZ1)1(KvKxIA)()(ZExkkkqvk01)1(1:)(nxIAxknkkqvk101)1(例：设v求：v解：xAI)（)1000(1002xxltxttdstev0202tsdseetxAI)（dttftvxt)(0dtxtet100010012xtxxlltf)(x100
14、1dttext1000210011)100(212)100(xex例：例：求：求：v解：v而：)1000(100%5xxlix40)IA（xkxkkqvk110001)1(40405901)1(ldvkkkk40)IA（60114040140404040llllldkkk40)IA（5901)1(601kkvk60)601Ia（5545.5二、递减型寿险v1、立即给付型v保险金给付额：n,n-1,n-2,-1tnbtnt1:)(nxADdttfvtnxnt)()(02、死亡年末付型knbk1(K=0,1,2,，n-1)1:)(nxDAxknkkqvkn101)(。3、立即给付与期末付的关系、立
15、即给付与期末付的关系v。1:)(nxAIxAI)(xIAi)(1:)(nxIAi1:)(nxAD1:)(nxDAi第五节、用换算函数表示趸缴纯保费v一、换算函数v令：v1、xxxlvD1210CCCCCMxxxkkxx1210MMMMMRxxxkkxx0)1(kkxCkxxxdvC1证明：证明：v。0)1(kkxxCkR121MMMMRxxxx121CCCCxxx121CCCxx2132xxxCCC0)1(kkxCk其它：其它：v。11nxnxnxxxxMCMMCM101010)1(nknknxkxkxnxxnkkxnxxnMCkMRRCMM11nxnxnxxxxRMRRMR2、1210DD
16、DDDNxxxkkxx1210NNNNNsxxxkkxx0)1(kkxDk其它：其它：v。11nxnxnxxxxSNSSNS101010)1(nknknxkxkxnxxnkkxnxxnNDkNSSDNN11nxnxnxxxxNDNNDN二、趸缴纯保费v1、v2、xkkkxqvA01xkxkkldv01kxkxxdvD01101kkxxCDxxDMxknkknxqvA1011:101nkxxkxkxlvdv101nkkxxCDxnxxDMM3、v4、v5、xnnpvxnxnllv.xxnxnxlvlv.xnxDD1:nxAnxA:1:nxA1:nxAxnxxnxxDDDMMxnxnxxDDMMx
17、mAxmxxxxDMMDMxmxDM1:mxxAA7、v8、xnmxmxnxmDMMA1:xnmxnmxmxDDMMnxmA:xIA)(xkkkqvk01)1(01)1(kxkxkldvkxxkxkxklvdvk10)1(0)1(1kkxxCkDxxDR9、10、v。1:)(nxIAxknkkqvk101)1(xkxnkkldvk101)1(kxnkkxxdvkD101)1(110)1(1nkkxxCkDxnxnxxDnMRR11、v。1:)(nxDA1:)(nxIA1:)(nxDAxknkkqvk101)1(xknkkqvkn101)(xknkkqvkn101)(1:)1(nxAn。v。x
18、nxnxxxnxxDnMRRDMMn)(1(xnxnxxxxDRMRMnM)()(1:)(nxDA1:)1(nxAn1:)(nxIAxnxxxDRRnM11例：(30)投保死亡年末付的终身寿险，保险金额为1，000元，i=6%求：趸缴纯保费v解：xxDM1000xA1000元6289.8678.1700371919.147301000例：李强在50岁时投保终身寿险，按照契约规定，若他在投保第一年内死亡，年末可得到50，000元的保险金，以后每多活一年后死亡，保险金增加5，000元，i=6%，试求趸缴纯保费。v解：5045000A50)(5000IA50505000DR505045000DM
19、52.510900417.117294500052.5109090.2513045000元9.34924例：现年例：现年36岁的人，购买一张寿险保单，保单规定，岁的人，购买一张寿险保单，保单规定，被保险人在被保险人在10年内死亡，则给付年内死亡，则给付15，000元，元，10年后年后死亡，则给付死亡，则给付20，000元，保险金在死亡年末给付，元，保险金在死亡年末给付，求趸缴纯保费。求趸缴纯保费。v解：3620000A110:365000A363620000DM3646365000DMM元01.2284。v例如果i=0.06，在UDD假设下计算:v。v解：1）v2）30A15:30A30A3030DMi0896.08.17003719.14730.058.006.000450.08.17003796.1398919.14730.058.006.030353015:30DMMiAi15:30A