2、年中，联合生存状况(xy)的“死亡”概率为联合生存状况(x+k:y+k)在一年内“死亡”的概率可用个体死亡概率写成联合生存状况(xy)在第k+1年死亡的概率为3保险精算基本原理和实务概述联合保险最后生存状况最后生存状态是以投保集团中至少一个成员存活为状态的存活，以全部成员的死亡为状态的死亡的状态。最后生存状况的余寿为，T=maxT(x1),T(x2),T(xm)，假设状况中个体的余寿随机变量相互独立。有，4保险精算基本原理和实务概述联合保险最后生存状况5保险精算基本原理和实务概述联合保险联合状态余寿随机变量期望值对于一般状况（u），其余寿T=T(u)，根据余寿均值的定义，有，如（
3、u）是联合生存状况（xy），则对最后生存状况，则有可以得到以下关系6保险精算基本原理和实务概述联合保险联合状态下的精算现值对于一般状态（u），寿险现值Au是状况（u）的整值余寿变量K=K(u)在K+1年末赔付的精算现值。对于在状况（u）“死亡”时赔付1单位元的保险，保单生效时的现值随机变量和趸缴净保费分别为，具体地，对于联合生存状况(xy)，有由独立性假设，上式可写成7保险精算基本原理和实务概述联合保险联合状态下的精算现值对于每年连续支付1单位直至状况（u）“死亡”的生存年金，有对于联合生存状况(xy)，即只有在两人同时存活时才支付年金，有8保险精算基本原理和实务概述联合保险最后生存状
4、况与联合生存状况9保险精算基本原理和实务概述联合保险特殊死亡分布律下的计算Gompertz假定组成联合投保集团成员的死亡率符合Gompertz死亡变动规律，即,i=1,2,,m。设某单生命状况(w)的死亡力与联合生存状况(x1,x2,,xm)的死亡力相同，即10保险精算基本原理和实务概述联合保险Makeham死亡律为x=A+BCx。此时，联合生存状况的死亡力为，设由m个年龄均为w的人组成的联合生存状态(www)的死亡力与x1x2xm相等，即，特殊死亡分布律下的计算Makeham11保险精算基本原理和实务概述联合保险条件联合状态概率表示在n年内(x)第一个死亡的
5、概率，x上面的1表示(x)的死亡事件发生在(y)之前，n表示事件发生在n年内。等于与T(y)联合概率密度函数的一个二重积分，积分区域相当于T(x)T(y)且T(x)n。在T(x)与T(y)独立的假设下，有12保险精算基本原理和实务概述联合保险条件联合状态概率表示(y)的死亡事件发生在n年内并且在(x)之后的概率，该二重积分的积分区域为0T(x)T(y)n，假设T(x)与T(y)独立13保险精算基本原理和实务概述联合保险在Gompertz死亡律下的估计当(x)在(y)之前死亡时，陪付1单位保险金的n年期条件保险的趸缴净保费为，14保险精算基本原理和实务概述联合保险在Mak
6、eham死亡律下的估计在Makeham死亡律下，当(x)在(y)之前死亡时，陪付1单位保险金的n年期条件保险的趸缴净保费为，15保险精算基本原理和实务概述联合保险第十章损失模型16保险精算基本原理和实务概述联合保险第一节风险与保险保险公司在其经营过程中，必须认识到风险与保险的下述基本关系：（1）保险是将风险从被保险人向保险人的转移；（2）保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险保障；（3）风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越小；（4）不同的被保险人具有不同的风险水平；（5）在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失将占到总损失的很大比重。17保险精算基本原理和实务概述联合保险
7、第二节损失模型的基本概念一、随机变量随机变量是指其取值依赖于随机现象的观察结果的变量。在非寿险精算中，最常见的随机变量就是损失金额（用X表示）和损失次数（用N表示）。离散型随机变量：只能取有限个或可列个值的随机变量，如保单的索赔次数N就是一个离散型随机变量，因为它只能取有限个值。连续型随机变量：其取值布满一个区间的随机变量，如损失额X的取值范围是区间（0，）。18保险精算基本原理和实务概述联合保险二、随机变量的数字特征1、数学期望数学期望描述了随机变量的平均取值，代表着其取值的平均水平。随机变量X的数学期望通常用E(X)表示。如果X为离散型随机变量，其取值为xi的概率为pi（i=1,2
8、,），则其数学期望为19保险精算基本原理和实务概述联合保险如果X为连续型随机变量，则其数学期望为密度函数f(x)与分布函数F(x)具有下述关系：两个随机变量X和Y的数学期望具有下述关系：（1）E(kX)=kE(X)，其中k为常数（2）（3）若X与Y相互独立，则20保险精算基本原理和实务概述联合保险2、方差、标准差和变异系数两个随机变量X和Y的方差具有下述关系：（1）（2）若X与Y相互独立，则（3）21保险精算基本原理和实务概述联合保险标准差是其方差的平方根，即变异系数是标准差与数学期望的比率，即n个独立同分布的随机变量之和的变异数是单个随机变量的变异系数的1/n，
9、即22保险精算基本原理和实务概述联合保险3、原点矩和中心矩4、偏度系数随机变量X的偏度系数被定义为n个独立同分布的随机变量之和的偏度系数为23保险精算基本原理和实务概述联合保险三、概率母函数和矩母函数随机变量X的概率母函数被定义为：PX(z)=E(zX)（1）随机变量X的分布函数由其概率母函数惟一确定。（2）随机变量的概率可以通过概率母函数的各阶导数来确定，即（3）n个相互独立的随机变量之和的概率母函数等于它们各自的概率母函数的乘积，即24保险精算基本原理和实务概述联合保险随机变量X的矩母函数MX(t)是关于实数t的函数，即如果随机变量X的矩母函数在原点的某个邻域有定义，则其矩
10、母函数具有下述性质：（1）随机变量X的分布函数由其矩母函数惟一确定。（2）如果X的k阶原点矩存在，则矩母函数M(t)可微分s（sk）次，且其k阶原点矩可以表示为（3）n个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们各自的矩母函数的乘积，即25保险精算基本原理和实务概述联合保险概率母函数和矩母函数之间存在下述关系：26保险精算基本原理和实务概述联合保险四、条件期望和条件方差对于二维随机变量（X，Y），当Y给定时计算X的数学期望即得X的条件期望。当Y给定时计算X的方差即得X的条件方差为如果允许Y可以随机取值而不是给定取值，则E(X|Y)和Var（X|Y）都是随机变量。（1）E(X)=
12、、负二项分布30保险精算基本原理和实务概述联合保险负二项分布具有下述性质：1.方差大于均值。2.负二项分布是一种混合泊松分布。3.负二项分布的众数，int表示取整数31保险精算基本原理和实务概述联合保险三、二项分布，k0，1，2，m，其中m为整数，0q132保险精算基本原理和实务概述联合保险二项分布具有下述性质：1.二项分布的方差小于其均值。2.假设每个风险发生损失的概率均为q，则二项分布可以描述m个独立同分布的风险所组成的风险集合的损失次数。3.如果用二项分布描述损失次数，则意味着损失次数存在一个最大值。4.二项分布的众数intq(m+1)，int表示取整数。如
14、保险对数正态分布具有下述性质：1.正态分布经指数变换后即为对数正态分布；对数正态分布经对数变换后即为正态分布。2.设r，t为正实数，X是参数为（，）的对数正态分布，则YrXt仍是对数正态分布，参数为（t+ln(r)，t2）。3.对数正态分布总是右偏的。4.对数正态分布的均值和方差是其参数（，）的增函数。5.对给定的参数，当趋于零时，对数正态分布的均值趋于exp()，方差趋于零。37保险精算基本原理和实务概述联合保险三、伽玛分布38保险精算基本原理和实务概述联合保险伽玛分布具有下述性质：1.当固定尺度参数q时，改变形状参数的取值会改变伽玛密度函数的形状。2.当趋于
15、无穷大时，伽玛分布近似于正态分布。3.当=1时，伽玛分布就是参数为q的指数分布。4.当尺度参数q相同时，伽玛分布具有可加性。5.伽玛分布乘以正常数r以后，仍然是伽玛分布，参数变为（，q/r）。39保险精算基本原理和实务概述联合保险四、帕累托分布40保险精算基本原理和实务概述联合保险帕累托分布具有下述性质：1.帕累托分布总是右偏的，众数恒为0。2.帕累托分布乘以正常数r以后，仍然是帕累托分布，参数变为（，r）。3.如果均值E(X)保持不变，当时，帕累托分布收敛到参数为1/的指数分布。41保险精算基本原理和实务概述联合保险五、威布尔分布42保险精算基本原理和实务概述联
16、合保险威布尔分布具有下述性质：1.当=1时，威布尔分布就是参数为的指数分布。2.威布尔分布乘以正常数r以后，仍然是威布尔分布，参数变为（，）。3.如果服从标准指数分布（即参数为1），则Y服从威布尔分布。4.威布尔分布在附近呈现大致对称的形状。43保险精算基本原理和实务概述联合保险六、通货膨胀对损失金额模型的影响若令，则X与Y的分布函数之间存在如下关系：如果X为连续型随机变量，则X与Y的密度函数之间有如下关系：44保险精算基本原理和实务概述联合保险第五节累积损失模型累积损失的分布模型有两种不同的表现形式：个体风险模型：集体风险模型：45保险精算基本原理和实务概
17、述联合保险在集体风险模型中，累积损失S的均值和方差分别为：对累积损失的一种最简单的近似计算是正态近似：46保险精算基本原理和实务概述联合保险如果累积损失S服从复合泊松分布，泊松分布的参数为l，则其中m与a2分别为个体损失金额X的均值和二阶原点矩，即47保险精算基本原理和实务概述联合保险当正态近似并不适用时，还可以对原始损失数据进行适当变换（如NP变换），使其符合正态分布的形式。经过NP变换以后，累积损失S的分布函数可近似表示为48保险精算基本原理和实务概述联合保险对于集体风险模型，当损失次数服从泊松分布时，可以用Panjer迭代计算累积损失的分布：49保险精算基本原理和实务概述联合
19、险单位的平均赔款金额，可以表示为每个风险单位的索赔频率与索赔强度的乘积。赔付率：赔款与保费之比。52保险精算基本原理和实务概述联合保险第二节纯保费纯保费是期望索赔频率E(N)与期望索赔强度E(X)的乘积。由于免赔额和赔偿限额的使用，再加上通货膨胀的影响，期望索赔频率与期望索赔强度的计算就不简单地是损失次数分布和损失金额分布的均值。一、有限期望函数53保险精算基本原理和实务概述联合保险二、免赔额对纯保费的影响当免赔额为d时，保险公司的期望赔款将为如果在应用免赔额之前的期望索赔频率为n，则当免赔额为d时，期望索赔频率将变为从而纯保费成为54保险精算基本原理和实务概述联合保险如果进一步
20、假设通货膨胀率为r，免赔额d保持不变，则纯保费为55保险精算基本原理和实务概述联合保险三、赔偿限额对纯保费的影响当赔偿限额为u时，保险人的期望赔款额为纯保费为56保险精算基本原理和实务概述联合保险如果进一步假设通货膨胀率为i，赔偿限额u保持不变，则保险公司的期望赔款为纯保费为57保险精算基本原理和实务概述联合保险四、免赔额与赔偿限额对纯保费的综合影响如果保单规定的免赔额为d，且对每一次保险事故，保险公司的最高赔款支出为ud，则对每一次损失X，保险公司的实际赔款支出为：58保险精算基本原理和实务概述联合保险因此包括零赔款(即在免赔额以下的损失)在内的期望赔款为纯保费为59保险精算基本原
21、理和实务概述联合保险如果通货膨胀率为r，免赔额d和赔偿限额u保持不变，则保险公司的实际赔款支出为包括零赔款在内的期望赔款为60保险精算基本原理和实务概述联合保险从而纯保费为61保险精算基本原理和实务概述联合保险第二节毛保费一、纯保费法用纯保费法厘定的毛保险费率不仅能够满足预期的赔款和费用支出，而且能够提供预期的收益，其计算公式如下：R每个风险单位的毛保险费率；P每个风险单位的纯保费；F每个风险单位的固定费用；V变动费用附加系数，即单位毛保费中的变动费用；Q单位毛保费中的利润附加系数；62保险精算基本原理和实务概述联合保险二、赔付率法赔付率法的毛保险费率计算公式如下：R
22、新厘定的毛保险费率R0当前的毛保险费率A费率调整因子(W/T)W经验赔付率T目标赔付率63保险精算基本原理和实务概述联合保险第三节数据调整一、等水平已赚保费：将整个经验期的费率都调整为当前费率，并在此基础上计算的已赚保费。可以使用平行四边形方法进行近似估计。二、最终赔款：已付赔款与未决赔款之和。预测最终赔款最常用的方法是损失进展法（lossdevelopment）。损失进展法的假设条件如下：保险事故发生以后，索赔将经历“未报告已报告但未赔付已赔付”这一顺序发展，而且这一过程在一定时期内是平稳的。64保险精算基本原理和实务概述联合保险三、趋势分析在一般情况下，需要把期望赔款（即纯保
23、费）分解为索赔强度和索赔频率的乘积，并对索赔强度和索赔频率的变动趋势分别进行分析。预测索赔频率或索赔强度趋势的两个常用模型是线性模型和指数模型：线性模型：y=at+b指数模型：y=beat指数模型还可以表示为：(y)=at+(b)若令Y=(y)，B=(b)，则有Y=at+B65保险精算基本原理和实务概述联合保险第12章分类费率66保险精算基本原理和实务概述联合保险第一节分类变量分类变量：个体风险的一些基本风险特征，根据这些特征，可以将风险集合区分成若干风险子集，属于同一个风险子集的个体风险具有近似相同的潜在损失。分类变量既可以是数量特征的指标，也可以是属性特征的指
24、标。67保险精算基本原理和实务概述联合保险一、分类变量的选择1、精算因素。2、经营因素。3、社会因素。4、法律因素。二、分类变量举例（略）68保险精算基本原理和实务概述联合保险三、风险分类与其它定价因素的关系1、风险单位。2、经验费率。3、市场营销和承保。69保险精算基本原理和实务概述联合保险第二节单项分析法在一个风险分类体系中，各个类别的费率通常地表示为相对比率的形式，即假设一个类别的费率为1，而其他类别的费率也按比例调整为相对数的形式。这种分类费率也被称作相对费率。厘定分类费率最简单的方法是单项分析法，即只根据一个变量对风险进行分类，并计算各个类别的相对费率。在相对费率的厘定中，最基
25、本的两种分析法是赔付率法和纯保费法。70保险精算基本原理和实务概述联合保险两个需要注意的问题（一）分布不均匀的风险单位数（二）数据的可信度71保险精算基本原理和实务概述联合保险第三节边际总和法边际总和法：在分类体系中，要求根据每一个分类变量的不同水平所计算的纯保费之和等于相对应的经验赔付成本之和，即：估计值的边际总观察值的边际总和假设每个分类变量的相对费率分别为72保险精算基本原理和实务概述联合保险令m为整个风险集合的平均纯保费，Cij为各个类别的经验赔付成本，nij为各个类别的风险单位数。73保险精算基本原理和实务概述联合保险求解相对费率的递推公式：74保险精算基本原理和实务概
26、述联合保险在上述迭代公式中，可以令m等于经验赔付成本的平均值，即75保险精算基本原理和实务概述联合保险令任一个分类变量的相对费率为1，如并将其代入第一个方程组求解；把得到的代入第二个方程组，可以求得一组新的；将其再次代入第一个方程组求解，如此不断进行下去，最后可以得到收敛的结果。76保险精算基本原理和实务概述联合保险第13章经验费率77保险精算基本原理和实务概述联合保险经验费率：根据个体风险的损失经验和其他有关信息所计算的个体风险的费率。信度模型和奖惩系统是最为常见的两种经验费率模型。第一节信度模型古典信度模型：也被称作有限波动信度模型，因为该模型试图限制观察数据中的随机波动
27、对估计值的影响。Bhlmann信度模型：也被称作最小二乘信度模型，通过估计值与真实值之间误差平方和的最小化确定信度因子。78保险精算基本原理和实务概述联合保险一、古典信度模型在古典信度模型中，需要确定当经验数据达到多大规模时，才可以给其赋予100的可信度，而这个数据规模也被称作完全可信度标准。（一）索赔频率的完全可信度标准所谓完全可信度标准，就是给个体风险的经验数据赋予的权重为1时，对经验数据的最低要求。标准正态分布的分位数。79保险精算基本原理和实务概述联合保险表13-1索赔频率的完全可信度标准r10%7.5%5%4%3%2%1%20%16429265710261825410
28、61642410%2714811082169130066764270555%3846831537240142689604384154%42275016872636468710545421793%47183718842943523311773470932%54196221653382601313530541191%663118026544147737216587663490.10%108319254331676712031270691082760.01%1514269160559460168193784215136780保险精算基本原理和实务概述联合保险（二）索赔强度的完全可信度标准（三）纯
29、保费的完全可信度标准（四）部分可信度81保险精算基本原理和实务概述联合保险二、Bhlmann信度模型82保险精算基本原理和实务概述联合保险三、信度模型的应用（一）信度补项在信度模型的实际应用中，信度补项的选择在很大程度上需要依赖于精算师的经验判断。在估计劳工补偿保险的费率时，可以选择去年的费率作为信度补项；在估计汽车保险费率的上调幅度时，可以选择汽车修理成本和医疗费用上升幅度的加权平均数作为信度补项；在估计某个地区的费率上调幅度时，可以选择全国平均的费率上调幅度作为信度补项；在估计某个特殊人群的劳工补偿保险费率时，可以选择该人群所属类别的劳工补偿保险费率作为信度补项。83保险精算基本
30、原理和实务概述联合保险（二）异常损失处理异常损失的一种常用方法是设置限额，这会降低个体风险损失经验的方差，从而提高其经验数据的可信度。（三）信度因子的估计假设一个保单组合包含m份保单，每份保单的风险单位数相同，并对其进行了t年的观察，其中第i份保单在第j年的索赔频率观察值为，则过程方差的均值和假设均值的方差可以如下计算：风险i的平均索赔频率：84保险精算基本原理和实务概述联合保险保单组合的平均索赔频率：风险i的过程方差：过程方差的均值：假设均值的方差：85保险精算基本原理和实务概述联合保险第二节奖惩系统一、奖惩系统的含义奖惩系统：对上一保险年度没有发生索赔的投保人，在
31、下一年度续保时给予保费上的优待，而对于上一保险年度发生索赔的投保人，则在下一保险年度提高其保费。应用奖惩系统的目的：使被保险人缴纳的保险费反映其真实的风险水平；降低保险公司受理小额赔案的费用，从而可以进一步降低保险费率；鼓励被保险人在驾车时更加小心谨慎。86保险精算基本原理和实务概述联合保险对奖惩系统的批评：破坏了被保险人的经济稳定性。被保险人之间的互助合作被削弱了。违背了大数定律。运用数学语言对奖惩系统的描述：把所有的被保险人划分成有限个等级，每个等级用Ci表示，i=1，2，s，被保险人的保费只依赖于他所属的等级（其中s表示等级总数）；新投保的被保险人缴纳初始等级C0的保险费；被保险人
32、的续期保费取决于他在上一个保险年度所属的等级和索赔次数。87保险精算基本原理和实务概述联合保险表13-11A款的奖惩系统保费等级奖惩系数10.720.830.941.051.161.271.481.691.8102.088保险精算基本原理和实务概述联合保险二、稳态概率分布如果用表示索赔频率为的保单在一个保险年度发生k次索赔的概率用M表示表1312的转移概率矩阵令为转移概率矩阵M的稳态概率分布，则是下述方程组的解：其中，T表示对矩阵进行转置。89保险精算基本原理和实务概述联合保险三、平均保费水平1、保单组合的平均保费水平2、个体保单的平均保费水平四、最优奖惩系统定义：每个被保
33、险人缴纳的保费与其潜在的风险水平成比例，且保险公司能够维持其财务平衡，即对于一组固定的保单持有人，保险公司不会因为实施奖惩系统而减少其保费收入。90保险精算基本原理和实务概述联合保险最优奖惩系统具有一些很重要的性质：（1）从长期来看，最优奖惩系统是公平的。（2）在最优奖惩系统下，保险公司的财务具有稳定性。（3）在最优奖惩系统中，个体保单的保费水平只与以前年度的总索赔次数有关，而不管这些索赔次数在过去若干年是如何分布的。（4）最优奖惩系统是信度模型的特例。即只要令信度因子，则：91保险精算基本原理和实务概述联合保险第14章非寿险准备金评估92保险精算基本原理和实务概述联合保险第一节引言
34、未到期责任准备金：在准备金评估日为尚未终止的保险责任而提取的准备金。决赔款准备金：保险公司对尚未结案的赔案而提取的准备金，包括已发生已报案未决赔款准备金、已发生未报案未决赔款准备金和理赔费用准备金。已发生已报案未决赔款准备金：为保险事故已经发生并已向保险公司提出索赔，保险公司尚未结案的赔案而提取的准备金。93保险精算基本原理和实务概述联合保险已发生未报案未决赔款准备金：为保险事故已经发生，但尚未向保险公司提出索赔的赔案而提取的准备金。理赔费用准备金：为尚未结案的赔案可能发生的费用而提取的准备金。直接理赔费用准备金：直接发生于具体赔案的专家费、律师费、损失检验费等而提取的准备金。间接理赔费用准
35、备金：非直接发生于具体赔案的费用而提取的准备金。94保险精算基本原理和实务概述联合保险第二节未到期责任准备金如果保险事故的发生在保险期间大致服从均匀分布，即可采用比例法对未到期责任准备金进行评估。比例法又可以分为二十四分之一法、三百六十五分之一法等。一、二十四分之一法假设所有保单都从月中开始生效，即对于每一张保单当月仅能赚得半月的保费。对于一年期的保单，当月已赚保费仅是年保费的1/24。95保险精算基本原理和实务概述联合保险二、三百六十五分之一法三百六十五分之一法是对保险责任尚未终止的保单，逐单按照保单的保险期间进行未到期责任准备金评估，采用的公式为：其中，(保险到期日准备金评估日)/（保
36、单到期日保单生效日）为该保单未赚保费的比例，乘以保费收入即是该保单的未到期责任准备金。96保险精算基本原理和实务概述联合保险第三节未决赔款准备金一、链梯法（1）构造赔款（已付赔款或已报案赔款）的流量三角形；（2）计算赔款的进展因子和累积进展因子；（3）用各个事故年的累积赔款乘以相应的累积进展因子，预测各个事故年的最终赔款；（4）从最终赔款中减去累积已付赔款，即可求得准备金的预测值。97保险精算基本原理和实务概述联合保险二、案均赔款法（1）构造已付案件数（或已报案案件数）的流量三角形；（2）应用链梯法预测最终已付案件数（或已报案案件数）；（3）构造已付案均赔款（或已报案案均赔款）的流量三角
37、形；（4）应用链梯法，预测最终的已付案均赔款（或已报案案均赔款）；（5）用最终已付案件数（或已报案案件数）乘以最终已付案均赔款（或已报案案均赔款），求得最终赔款；（6）从最终赔款中减去累积已付赔款，即得未决赔款准备金的预测值。98保险精算基本原理和实务概述联合保险三、准备金进展法（1）构造已付赔款和已发生已报案未决赔款准备金的流量三角形；（2）用各个事故年和进展年的已付赔款观察值除以同一个事故年在前一个进展年的已发生已报案未决赔款准备金，求得已发生已报案未决赔款准备金的支付率，并计算和选定各个进展年的平均支付率；（3）用各个事故年和进展年的已发生已报案未决赔款准备金除以同一个事故年在前一个进展年的已发生已报案未决赔款准备金，求得已发生已报案未决赔款准备金的结转率，并计算和选定各个进展年的平均结转率；99保险精算基本原理和实务概述联合保险（4）用选定的结转率乘以相应的已发生已报案未决赔款准备金，即可求得已发生已报案未决赔款准备金