通过大量的调查获得的数据表明，如果一个饮料厂要生产容量为300ml的罐装饮料，那么每罐饮料都会服从标准差是30ml的正态分布。如果想要把少于300ml的产品数量控制在百分之十以内，那么要怎样调节均值μ？一个全新的包装机一般在10万元左右。然而，每一罐饮料的容量都要服从标准差为7．5ml的正态分布，这样的情况，要怎么调节均值μ，才能使每罐饮料少于300ml的产品数量不超过10％。
我们把通过原包装线上生产的一罐饮料的容量设置为X。则X～N（μ，302），如果把均值μ设置在300ml上，那么如果出现50％的产品少于300ml，那么这批产品是不合格的。所以，要把均值μ调整到大于300ml大的位置上，但是要注意μ一定要遵循概率方程P｛X＜300｝＝0．1。根据这个公式得到＝1．28，所以μ＝338．4。这就要求我们，把自动包装机的均值控制在338．4的位置上，这样才能使少于300ml的产品数量不大于百分之十。如果投资10万元新买一台包装机，新包装线上每罐饮料的容量为Y，则Y～N（μ1，7．52），为了使少于300ml的饮料所占的比例不多于10％，其中μ1必须满足方程P｛Y＜300｝＝0．1。即P｛Y＜300｝＝P｛＜｝＝Φ（）＝0．1，于是Φ（）＝0．9，由此可得＝1．28，从而μ1＝309．6。采用新包装机平均每罐可节约饮料
338．4－309．6＝28．8ml。
如果按一天可以生产出20000罐饮料来进行计算，那么通过这种方式可以节省20000×28．8＝576000ml饮料，如果100ml饮料的成本是1元，那么一个工厂一天就可以增加5760元的利润，这样在18天成本就能赚回，第十九天就可以获得净利润了。所以，饮料厂应该买新的包装机，这样更有利于企业的发展。因为自动线包装的饮料的容量服从正态分布，而其出现的反差会对产品的质量造成影响，还会反应包装机的精度，对工程的效益也会产生很大的影响。因此，在控制产品质量时，要重视对方差的控制。方差越大，精度就越差，系统的性能就越差。而方差越小精度就越高，性能就越好。
二、大数定律在保险中的应用
大数定律应用在保险学中，就是保险的赔偿遵从大数定律。假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0．006，死亡时，其家属可向保险公司领得10000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少？
设Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则。E（Xi）＝60，D（Xi）＝59．64（i＝1，2，…，10000）诸Xi相互独立。则表示保险公司平均对每户的赔偿金E（）＝60。
D（）＝59．64×10－4，由中心极限定理，～N（60，0．07722），P｛5961｝＝＝2Φ（12．95）－1≈1。虽然每一家的赔偿金差别很大，但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于60元，在59元至61元内的概率接近于1。保险公司亏本，也就是赔偿金额大于10000×120＝120（万元），即死亡人数大于120人的概率。死亡人数Y～B（10000，0．006），E（Y）＝60，D（Y）＝59．64。由中心极限定理，Y近似服从正态分布N（60，59．64），则P｛Y＞120｝＝1－Φ（7．77）≈0。这说明，保险公司亏本的概率几乎等于0。
如果保险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人。则P｛Y＜80｝＝Φ（2．59）＝0．9952。可见，保险公司每年利润大于40万元的概率接近100％。在激烈的竞争中，保险公司要想得到相同的收益可以采取两种办法，一个是提高保险的赔偿金额，这样可以吸引更多的客户。第二个是降低保费，但是这种方式没有第一个吸引的人数多。
三、数字特征在组合证券投资决策中的应用
投资者在选择投资策略时，降低投资风险的有效途径是组合证券投资方式。假定投资者选定n种证券，Xi为证券投资期内第i种证券的收益率，它受证券市场波动的影响，其预期收益率和风险分别为Xi的数学期望E（Xi）＝μi及方差D（Xi）＝σi2（i＝1，2，…，n）。n种风险证券收益率向量为X＝（X1，X2，…，Xn）T，若X的期望向量μ＝［E（X1），E（X2），…，E（Xn）］T＝（μ1，μ2，…，μn）T，协方差矩阵，其中σij＝Cov（Xi，Xj），σij＝σji，σij＝σi2（i＝1，2，…，n）。且假定∑为正定矩阵。
组合证券投资的收益率为R＝wiXi，wi为投资期内在第i种证券投资占总投资额的比例，满足wi＝1，wi≥0。则R是随机变量，其数学期望为E（R）＝wiμi，方差为σ2＝D（R）＝wiwjσij。记W＝（w1，w2，…，wn）T，FnT＝（1，1，…，1）。则组合证券投资的期望收益率和风险可以分别表示为E（R）＝WTμ和σ2＝WT∑W。由此可以看出，在选定n种投资证券的前提下，n种证券的预期收益率向量μ及协方差矩阵∑就是已知的（可以根据统计数据给出估计），组合证券投资的收益率及风险都是由投资比例向量W所确定的，投资者可以根据自己的偏好选择投资比例向量。
【参考文献】
［1］茆诗松．概率论与数理统计［M］．中国统计出版社，2000
【关键词】保险产品定价保险精算学保险经济学
精算一般是指运用数学、统计学、金融学、保险学以及人口学等学科知识和原理，定量解决工作，尤其保险经营管理中的实际问题，进而为决策提供科学依据。精算和保险的结合形成保险精算，保险精算是精算学的重要组成部分。保险经济学是经济学的一个分支，运用经济学原理来分析、研究关于保险领域问题的一门学科。从微观层面来看，保险经济学研究个人、保险人、保险中间人、保险监管者在市场中的行为决策，如何在有限资源下达到效用最优。从宏观层面来看，保险经济学研究保险在整个国民经济中的作用及影响。在这两个既有联系又有区别的学科中，保险产品定价是它们共同的重要内容，究竟这两门学科中保险产品定价有何异同，这正是本文所要尝试探讨的问题。
一、保险定价的数理基础
（一）保险精算学中保险定价的数理基础
大数定律在保险定价中所起的作用主要有以下几个方面：一是利用贝努里大数定律和泊松大数定律来估计风险损失发生的概率；二是利用大数定律来分散和降低风险；三是大数定律是衡量保险公司财务稳定性的数理基础；四是大数定律也是再保险的数理基础。
保险精算一般分为寿险精算和非寿险精算，它们具有不同的数理基础。寿险保费的计算涉及的数理基础主要有概率论与数理统计、人口数学、利息理论和生存模型等。非寿险保费的计算比寿险保费计算更为复杂，因为非寿险中损失次数和损失额都是随机变量，其涉及的数理基础主要有概率论与数理统计、信度理论等。
（二）保险经济学中保险定价的数理基础
（三）保险定价数理基础的差异
从上面的分析可以看出，保险精算学中定价的数理基础是纯数学的、概率统计的，而保险经济学中定价更多的是基于金融数学、随机过程。尽管二者都采用了数学分析手段，但各自的侧重点不相同。
二、保险定价的基本原理
（一）保险精算学中保险定价的基本原理
保险精算学中保险定价的核心内容是厘定纯保费，用E表示。纯保费厘定的基本原理是收支平衡原理，厘定结果为精算公平纯保费，即纯保费与保险人未来预期保险责任赔款损失相等。用L表示保险人在签单生效时的损益，表示保险人未来预期保险责任赔款损失现值，X表示投保人或被保险人缴纳的纯保费的现值，则保险精算学中保险定价的收支平衡原理可以表示为E（L）=0，即E（Z）=E（X）。尽管寿险精算和非寿险精算所处理的风险性质不相同，但是纯保费厘定所适用的原理都是一样的，只是在具体的厘定纯保费模型上有差异。给定了预定死亡率（非寿险为预定损失率）、预定利息率（非寿险是短期险，一般不考虑）、预定费用率以及安全加成或利润因素等，采用收支平衡原理厘定毛保费。在保险精算中，这些预定的定价因素是从保险公司（或再保险公司）以往经营中得到的经验结果，具有很强的主观性，不同的保险公司之间可能会存在个体差异性。
（二）保险经济学中保险定价基本原理
保险经济学中保险定价和保险精算学中保险定价的不同之处在于，保险经济学定价在保险价格的决定过程中充分考虑了市场的作用，应用了经济学中的均衡价格决定原理。因此，保单价格应该是风险和收益的一种均衡。相对而言，保险精算中的精算保费模型是从供给方面着手，它假定价格由保险人单方面决定。在保险经济学中，由精算学者和金融经济学者共同发展的保险金融定价模型成为了保险定价的主流趋势。在保险经济学中，在不同的保险市场和经济条件下应用经济学理论来考察保险定价。在完全市场模型下，认为由竞争决定的长期均衡保险费即公平保费与索赔、销售费用、所得税和其他成本，包括税收以及资本成本等的预期现金流的风险贴现值相等（MyersandCohn，1986）。保险经济学者也在资本冲击、价格管制等经济条件下来考察对保险定价的影响。
三、保险产品定研――保险精算学与保险经济学研究比较
通过上面的分析，对于保险精算学和保险经济学中关于保险定价的一些联系与差异，我们可以得到一些探索性的结论：
（1）从数理基础上看，保险精算学偏重于纯数学的、概率统计的的数学工具，而保险经济学侧重于应用的、随机过程的、和金融市场结合紧密的数学工具。
（2）从定价的基本原理上看，保险精算学立足于计算公平保费，使用的是收支平衡原理。保险经济学立足于计算市场均衡保费、最优保险保费等，充分利用了经济学原理，如供求均衡原理、效用最大化原理、市场结构理论等。而且，在保险经济学中，保险被看成是一种金融产品，在其价格确定时，也充分利用了金融产品价格确定的金融数学模型。
【关键词】概率论；数理统计；数学建模；实际案例
概率论与数理统计是研究和处理随机现象的一门重要的数学分支，在工程、人文、经济、社会等领域应用广泛。特别是近30年来，随着科学技术的迅速发展和计算机的普及，这门课也得到了长足地发展，在统计学、经济学、生物学、控制论等方面发挥着越来越重要的作用。因此，它已经逐步成为各高等院校理工类、经管类等各专业大学生学习的最重要的数学基础课程之一。该课程应用性比较强，但也有自己的理论框架，有自己的定义、性质、定理等，虽然计算技巧要求不高，但对学生的分析问题的能力，以及如何快速正确的找到问题的切入点，这方面的要求相对较高。鉴于该课程的以上特点，如何让学生更深刻、灵活的掌握基本概念和性质，并能把所学知识高效地应用到实际问题中提高教学效果是每一位从事该课程教学的老师，都在思考解决的问题。结合几年来对这门课程的实际教学经验，简单提出几点看法和建议：
一、改变传统的教学模式，在教学过程中引入数学建模的思想
二、在教学过程中引入实际案例，调动学生的学习主动性
在概率论与数理统计中的教学中，结合概率论与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，平时注意收集生活中的实际案例，并根据各章节的内容选择适当的案例融人教学，将理论教学与实际案例有机地结合起来组织讨论课，一方面使得课堂讲解生动清晰，收到良好的教学效果；另一方面也加深了学生对教学内容的理解和掌握。例如，保险机构是较早使用概率统计的部门之一，保险公司为了恰当估计企业的收支和风险，需要计算各种各样的概率下面是赔偿金的确定问题：据统计，某年龄段的健康人在3年内死亡的概率为0.03，保险公司准备开办该年龄的3年人寿保险业务，预计有5000人参加保险，条件是参加者需交保险金10元，若3年之内死亡，公司将支付赔偿金b元（待定），便有以下几个问题：
（1）确定b，使保险公司期望盈利及保险公司盈利的可能性超过95%？
（2）确定b，使保险公司的期望盈利超过1万元及使保险盈利超过1万元的可能性大于95呢？
（3）若b=3000元，保险公司盈利的期望值和盈利都超过2万元的可能性为多少？
（4）若b=3000元，欲使公司盈利20万元时，每位参保者至少需要交保险金为多少元？.这一系列问题的解决需要综合运用概率论知识.通过这样的案例分析题将有利于增强学习氛围，活跃课堂，激绪，开发思维，有利于个人素质和协作能力的培养，教学效果当然会大幅度提高。
三、采用启发式教学引导学生的自主学习
教学是一种教师和学生之间的互动关系。在此过程中，学生的主观能动性则起了非常大的作用，可以说，是师生在共同控制信息的传递。如果只是教师在讲台上一味的讲，不停地推导公式，加上数学本身的晦涩难懂和枯燥，学生必然会觉得索然无味，很快失去学习热情和学习兴趣，更谈不上学习效果怎么样了。然而如果教师采用引导、启发式教学，不是直接讲授给学生，而是时不时地环环相扣地把问题抛给学生，让学生去主动思考，调动学生的自发的积极性与主观能动性，则会大大提高教学质量，改善教学效果，学生自身掌握的知识也会更加扎实。
四、开设上机实验课，培养学生应用数学软件来解决问题的能力
以上是我在实际教学中的一些心得体会，旨在让学生对这门课能有更深刻、直观、全面的认识，更好地培养学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，从而提高这门课得教学效果。
参考文献：
[1]闫庆伦，范晓娜.注重数学建模思想的概率统计教学探讨，中国科教创新导刊，2012（8）：50.
1适时引进案例式教学法
传统的“灌输式”教学方法显然已经不能适应目前的课堂教学。营造活跃的课堂氛围，提高学生学习的兴趣是教育工作者的责任。积极引导学生学好《概率论与数理统计》的关键是选择生动的案例。下面试举两个例子加以说明。
（1）引入案例之一。在《概率论与数理统计》课程的第二章讲授到随机变量服从正态分布时，不是仅仅讲解正态分布概率密度函数表达式的特点、标准正态分布概率密度函数及分布函数等基本的知识，而是引入了公司招聘的例子。“某公司招聘155人，共有526人报名，于是通过考试，按成绩由高到低依次录取，设考试成绩为随机变量的分布为，问：某人成绩为78分，能否被录取？”在这个例子中，只有计算出招聘录用的分数线，将某人的成绩同录用的分数线比较，如果分数线不高于78分，则某人就能被录用。但是计算分数线，就需要用到一般正态分布标准化的问题、标准正态分布函数表的使用问题等关于正态分布的知识。这样通过该案例的教学，学生既巩固了关于正态分布的知识，又应用该知识解决了实际的问题，一举两得。
2课堂教学中突出实践特色
基于“卓越工程师计划”的《概率论与数理统计》的教学，要求教师在课堂教学中必须要突出实践特色。如何在《概率论与数理统计》课程教学中突出这一特色，下面通过一个例子加以说明。
关键词：分层次教学；概率论与数理统计；独立学院
概率论与数理统计是本科院校面向理工科和经管等专业开设的一门重要的数学基础课程，是学生在本科阶段接触到的为数不多的研究随机现象和统计规律的一门课程．随着科学的发展，在云计算以及大数据理论的推动下，概率论与数理统计的思想方法已经越来越多地渗入到自然科学和社会科学的各个领域中[1]．如何结合独立学院学生的特点，将概率统计较强的应用性和实践性充分体现出来，是独立学院概率统计教学改革中值得探讨和研究的课题．
1独立学院的学生特点
独立学院是我国经济社会发展和高等教育改革中出现的新生力量，为我国高等教育的大众化起到了很大的推动作用[2]．独立学院学生大多数的进校分数介于二本院校和专科院校之间．从多年的教学实践来看，独立学院学生数学基础相对薄弱，学生自控力较差，学习缺乏主动性且比较随意．与社会整体认知有所差异的是独立学院中也会有15%左右的学生有一定数学基础，学习认真；此外还有5%左右的学生由于偏科或考试发挥失常导致高考失利来到独立学院．这些学生往往是独立学院参加各学科竞赛的主力，他们不仅有较强的数学基础，而且学习积极主动，经过一定的训练在某些知识的应用方面甚至会超过一本、二本的学生．因此需要因材施教，针对不同专业、不同类型的学生开设不同层次的数学基础课程教学，在保证基础理论教学的同时，适当增加一些实验实践课程．这样可以提高学生的学习兴趣，充分锻炼学生的动手能力和应用能力[3-4]．
2分层次教学实践
与其他课程不同，概率统计研究的对象为不确定现象．因为不确定性，概率论与数理统计的大量概念很难理解．同时，作为概率论与数理统计的基础课，微积分和线性代数在概率论与数理统计的教学中有很深入的体现，尤其微积分，基础是否扎实直接影响着概率论与数理统计的学习．因此，对不同数学基础、不同专业的学生进行分层次教学是十分必要的．分层次的概率论与数理统计教学并非简单地将学生按成绩分成不同等级，而是让学生在对自身数学基础有全面认识的前提下，结合自己的兴趣，在教师的指导下进行自主选班．分层次教学主要包括3个层次，即基础层、提高层和探索层．前2个层次为课内教学，分别在普通班和提高班进行．普通班与提高班人数按4∶1进行分配．第3层次结合网络平台及课外学习小组面向对概率论与数理统计有更多兴趣，且希望进一步学习实际应用的学生展开．
2.1分层次的教学大纲和教学内容
2.2利用网络实现第3层次的教学
2.3分层次的考核方式
对学生学习情况的期末考核是整个教学过程中的重要环节，它是对学生学习程度的检验，更是对教师教学水平的检验．因为存在不同层次的教学大纲，所以对学生的考核也分多个层次进行．对于基础班学生，卷面考试以基础题和简单计算为主，占总评成绩的70%，此外是参与第3层次学习情况作为加分项占总评分10%的额外加分．通过加分奖励机制鼓励学生积极参与到动手实践中去．对于提高班学生，卷面考试占总评成绩的60%，实验部分占30%，除了对软件的基本命令和操作的考核外，还增加了需要通过小组合作解决的综合应用题，以及实验报告的写作．既考核了学生的综合动手能力，还考察团队合作精神．此外第3层次的学习情况依旧作为加分项占总成绩的10%．
3分层次教学的实施效果和意义
4结语
概率论与数理统计课程的分层次教学是我院对数学基础课程教学改革的一部分，从实践来看取得了较好的教学效果，受到师生广泛的好评．随着教学改革的深入，在分层次教学中，新的教学方法和教学案例将会进一步融入到课堂教学和课后实践中来，为培养有创新能力的“现场工程师”打下良好的基础．
[1]魏岳嵩．在概率统计教学中融入数学建模思想[J]．淮北煤炭师范学院学报：自然科学版，2010，31（1）：91-93
[2]杨德广．独立学院是中国特色的新型民办高校[J]．高等教育研究，2009，30（3）：56-60
[3]刘程熙．高等数学分层教学方法的实践研究[D]．重庆：西南大学，2009
[4]张晓丽，刘国祥．应用型人才培养模式下《概率论与数理统计》课程教学方法的改革与探讨[J]．赤峰学院学报：自然科学版，2014（12）：228-229
[5]王宁，孙晓玲．概率论与数理统计实验教学案例设计及实现[J]．合肥师范学院学报，2014，32（3）：69-72
[6]耿智琳．独立学院开展数学实验辅助教学的探索与思考[J]．湖北经济学院学报：人文社会科学版，2011，8（2）：138-139
[7]胡菊华．计算工具融入概率统计教学的尝试[J]．科技信息，2011（35）：430-431